Abstrakt

Zur Lösbarkeit von Polynomgleichungen höheren Grades

Samuel Bonaya Buya

Ich stelle Methoden vor, mit denen man algebraische Lösungen für Polynomgleichungen vom fünften Grad und höher erhalten kann. In diesem Beitrag betrachte ich Methoden, mit denen man Polynomgleichungen höheren Grades faktorisieren kann, um lösbare Hilfsgleichungen niedrigeren Grades zu erhalten. Die Faktorisierungsmethode wurde erfolgreich zur Lösung von Gleichungen mit quartischem Wert eingesetzt. Eine sorgfältige Auswahl der geeigneten faktorisierten Form kann bei der Lösung von Polynomen höheren Grades sehr hilfreich sein. Ehrenfried Walter von Tschirnhaus (1651-1708) erfand die Tschirnhaus-Transformation. Der schwedische Algebraist Erland Bring (1736-1798) zeigte durch eine Tschirnhaus-Transformation, dass die allgemeine Gleichung quintisch in die trinomiale Form transformiert werden kann. Der englische Mathematiker George Jerrard (1804-1863) verallgemeinerte dieses Ergebnis auf Polynome höheren Grades. Die Möglichkeit der Lösbarkeit von Polynomen höheren Grades würde den Weg für Transformationen ebnen, die Polynome höheren Grades auf ihre trinomiale Form reduzieren können. Die Newton-Identität verknüpft die Wurzeln von Polynomen mit ihren Koeffizienten. Es ist möglich, eine Instanziierung dieser Formel einzuführen, bei der eine Wurzel eines Polynoms mit seinem Koeffizienten korreliert wird. Dies soll die einfache Reduzierung von Polynomen auf niedrigere Grade zur Lösbarkeit erleichtern. Sobald ein Polynom auf lösbare Formen niedrigeren Grades und die daraus resultierenden Wurzeln reduziert ist, ist es möglich, es in eine Wurzel des Grades des ursprünglichen Polynoms umzuwandeln. In diesem Artikel wird versucht, kurz auf die in dieser Zusammenfassung hervorgehobenen Dinge einzugehen. Die Lösbarkeit von Polynomen höheren Grades erfordert zwangsläufig eine erneute Prüfung des Abel-Ruffini-Unmöglichkeitstheorems und der Galois-Theorie im Allgemeinen.